Если новые документы вам сделают быстрее чем ужонд закроет старое дело - да, так можно.
Особенно если учесть, что кто-то еще должен сообщить в ужонд о потере старого основания.
Или даже можно донести в открытое дело документы по новой работе.
Проблема только во времени, и как именно оно сложится в вашем случае - я не знаю.
P.S: Вам, строго говоря, для подачи на карту зезволение/освядчение вообще-то не нужно - вы не обязаны работать в моменте подачи, ни пока дело идет (после выдачи положительного решения - уже да, но то другое).
Наличие оных позволит объяснить почему у вас есть страховка от NFZ (если вы не заключили договор о добровольном страховании) и на что вы живете, пока дела в процессе.
Но вот опиния старосты - 99% что нужна, и делается она 2-3 недели.
Это есть, но только при негативном решении, а не закрытии.