Если у вас ВНЖ в одной стране ЕС, то в ней и полагается жить. При отсутствии места жительства (фактически при отсутствии регистрации) в стране более полугода, ваш ВНЖ аннулируют.
Насколько я знаю, единственный вариант - это при наличии основной регистрации в другой стране зарегистрировать "дополнительное" место жительства (Nebenwohnsitz) в другой, в даном случае в Австрии. Без регистрации никак. Даже если найдете жилье у частника, регистрироваться все равно надо.
С медстраховкой как раз проще - в большинстве стран она общеевропейская European Health Insurance Card (EHIC).