1. Тетя - не основание.
2. Для опекунства - нужно будет решение суда. А это переходит уже в юридическую плоскость. Потребуются документы она квартиру тети, о ее здоровье, справки из соцобеспечения, документы о Вашем родстве (но это решаемо) и т.д. Это основание для получения ПМЖ.
3. Не менее 6 месяцев. Это подготовка к суду, подача в суд, сам суд, подача документов в ГМС. Сколько будет рассматривать ГМС - не могу сказать.