Теоретически можно. Если у Вас в Австралии есть хороший знакомый/знакомая, которые выступят спонсором на время поездки и предоставят жильё. И если сможете доказать, что Вы с ним/ней давно и близко знакомы. И если детей оставите дома.
Вот только не знаю, как власти отнесутся к тому факту, что Вы укажете в цели поездки "short holidays for three weeks", пообещаете вернуться к определённому сроку и в итоге останетесь. И как к этому отнесётся спонсор.