Ну вот... По второму кругу поехали.
Во-первых, годами неофициально... Так это уже нелегалы!
Читаем название темы и главный вопрос ТС:
На всякий случай выделил определяющее слово... (Не принимайте за издевку)
Человек заинтересован в конкретной вещи, зачем советовать ему совершенно противоположную совершенно не понятно.
Во-вторых, ловят, естественно, не всех, но ловят.
Если большое количество не поймали/не ловили - это вовсе не повод думать, что так же будет в данном конкретном (или ином) случае.
А кто его знает, что за работодатель попадется? А стуканет? А другой кто-нибудь стуканет? Да мало ли что еще...
Просто я никак не пойму преимущество венгерского гражданства перед украинским в легальном трудоустройстве в США??? Как и человеку с укр гражданством нужна виза для работы, так и с венгерским.