На Кипре, где я какое-то время жил, например, надо обратиться в местную миграционную службу, предоставить небольшой пакет документов (подтверждение наличия жилья в аренде/ собственности и наличия средств к существованию). На основании этого дают вид на жительство (yellow slip). Первый раз на пять лет, потом бессрочно.
В любом случае, надо обосновать, почему ты именно на Кипр приехал жить - работать (тогда даешь трудовой договор подписанный), учиться (тогда надо справку из учебного заведения), заниматься бизнесом (тогда надо дать справку о регистрации как предринимателя из Social insurance) или просто наслаждаться климатом (тогда надо показать, что есть либо регулярный доход из-за границы - 1,500 евро в месяц считается более чем достаточным или наличие денег на счету (обычно говорят, что 20,000 хватит). То есть не совсем автоматически все.
Ну и да, 90 дней можно без этих формальностей жить. Как отслеживают - не понятно. В паспорте же печатей не ставят. И билеты точно полиция не спрашивает при проверке документов (а для континентальных стран никаких билетов быть не может, всегда можно сказать, что любишь пешие прогулки и только вчера пришел пешком из Венгрии). Да и документы на улице никто не проверяет, если только не специальный рейд (знакомые за 5 лет один раз столкнулись, лично не сталкивался). Так что регистрация, на мой взгляд, нужна если с государством общаться собираешься - например, права получать местные или за соц. выплатами обращаться.
В других странах, думаю, все более или менее так же.